Determinantes

Determinante é um conceito matemático utilizado em álgebra linear para representar certas propriedades de matrizes quadradas. O determinante é um número associado à matriz, que pode ser calculado a partir de seus elementos, e nos informa se uma matriz é invertível ou não, ou seja, se ela tem inversa ou não.

Se o determinante de uma matriz é zero, então ela não tem inversa e é chamada de matriz singular. Caso contrário, a matriz é chamada de não-singular e tem inversa.

O cálculo do determinante de uma matriz é feito por meio de uma fórmula específica, que depende do tamanho da matriz.

Matrizes 2×2

$$\large \begin{matrix} A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}\\ \downarrow\\ \large \color{white} \color{white} \begin{vmatrix} \color{deepskyblue}a_{11} \color{white} \qquad a_{12}\\ \color{deepskyblue}\searrow\\ a_{21}\qquad \color{deepskyblue}a_{22} \end{vmatrix} \quad e \quad \begin{vmatrix} a_{11} \qquad \color{limegreen}a_{12}\\ \color{limegreen}\nearrow\\ \color{limegreen}a_{21}\qquad \color{white}a_{22} \end{vmatrix} \end{matrix}$$

$$det(A) = (a_{11} \cdot a_{22})\ -\ (a_{21} \cdot a_{12})$$ 

Matrizes 3×3

$$\large A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$$

No caso de uma matriz 3×3, o cálculo é um pouco mais complexo e pode ser resolvido usando a Regra de Sarrus ou o Teorema de Laplace:

$\color{orange} \text{Exemplo da Regra de Sarrus:}$
$$det(A) = \begin{matrix}
(a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33}) + (a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31})\\ + (a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32})\ -\ (a_{31} \cdot a_{22} \cdot a_{13})\\ -\ (a_{32} \cdot a_{23} \cdot a_{11})\ -\ (a_{33} \cdot a_{21} \cdot a_{12})
\end{matrix}$$

Matrizes 4×4 ou maiores

$$\large A = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$

No caso de uma matriz 4×4, o cálculo só pode ser resolvido com o Teorema de Laplace:

$\color{orange} \text{Exemplo do Teorema de Laplace:}$
$$A = \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}\bbox[2pt, green]{a_{11}}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{12}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{13}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{14}}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{31}} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{41}} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$

$$\begin{matrix} \downarrow\\ det(A_{1})\\ \downarrow\\ a_{22} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{32}} & a_{33} & a_{34}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{42}} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\\ -\\ a_{23} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{32} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{33}} & a_{34}\\ a_{42} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{43}} & a_{44} \end{vmatrix} \\+\\ a_{24} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{32} & a_{33} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{34}}\\ a_{42} & a_{43} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{44}} \end{vmatrix} \end{matrix}$$

$$c_{11}=(-1)^{\bbox[2pt, green]{1+1}} \cdot \det(A_{1})$$

$$A = \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{11}} & \color{red}\cancel{\color{white}\bbox[2pt, green]{a_{12}}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{13}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{14}}\\ a_{21} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{32}} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{42}} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$

$$\begin{matrix} \downarrow det(A_{2})\\ \downarrow\\ a_{21} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{31}} & a_{33} & a_{34}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{41}} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}\\ -\\ a_{23} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{31} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{33}} & a_{34}\\ a_{41} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{43}} & a_{44} \end{vmatrix}\\ +\\ a_{24} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{31} & a_{33} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{34}}\\ a_{41} & a_{43} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{44}} \end{vmatrix} \end{matrix}$$

$$c_{12}=(-1)^{\bbox[2pt, green]{1+2}} \cdot \det(A_{2})$$

$$A = \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{11}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{12}} & \color{red}\cancel{\color{white}\bbox[2pt, green]{a_{13}}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{14}}\\ a_{21} & a_{22} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{33}} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} &\color{red}\cancel{\color{white}a_{43}} & a_{44} \end{vmatrix}$$

$$\begin{matrix} \downarrow\\ det(A_{3})\\ \downarrow\\ a_{21} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{31}} & a_{32} & a_{34}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{41}} & a_{42} & a_{44} \end{vmatrix}\\ -\\ a_{22} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{31} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{32}} & a_{34}\\ a_{41} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{42}} & a_{44} \end{vmatrix}\\ +\\ a_{24} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{31} & a_{32} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{34}}\\ a_{41} & a_{42} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{44}} \end{vmatrix} \end{matrix}$$

$$c_{13}=(-1)^{\bbox[2pt, green]{1+3}} \cdot \det(A_{3})$$

$$A = \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{11}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{12}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{13}} & \color{red}\cancel{\color{white}\bbox[2pt, green]{a_{14}}}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{24}}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{34}}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{44}} \end{vmatrix}$$

$$\begin{matrix} \downarrow\\ det(A_{4})\\ \downarrow\\ a_{21} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{31}} & a_{32} & a_{33}\\ \color{red}\cancel{\color{white}a_{41}} & a_{42} & a_{43} \end{vmatrix}\\ -\\ a_{22} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}}\\ a_{31} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{32}} & a_{33}\\ a_{41} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{42}} & a_{43} \end{vmatrix}\\ +\\ a_{23} \cdot \begin{vmatrix} \color{red}\cancel{\color{white}a_{21}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{22}} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{23}}\\ a_{31} & a_{32} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{33}}\\ a_{41} & a_{42} & \color{red}\cancel{\color{white}a_{43}} \end{vmatrix} \end{matrix}$$

$$c_{14}=(-1)^{\bbox[2pt, green]{1+4}} \cdot \det(A_{4})$$

$$A = \begin{vmatrix} \bbox[2pt, green]{a_{11}} & \bbox[2pt, green]{a_{12}} & \bbox[2pt, green]{a_{13}} & \bbox[2pt, green]{a_{14}}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \end{vmatrix}$$

$$\small det(A) = \bbox[2pt, green]{a_{11}} \cdot c_{11} + \bbox[2pt, green]{a_{12}} \cdot c_{12} + \bbox[2pt, green]{a_{13}} \cdot c_{13} + \bbox[2pt, green]{a_{14}} \cdot c_{14}$$

Python

import numpy as np

def calcular_determinante(A):
    n = len(A)
    det = 0
    
    # Caso base: matriz 1x1
    if n == 1:
        return A[0, 0]
        
    # Caso base: matriz 2x2
    if n == 2:
        return A[0, 0] * A[1, 1] - A[0, 1] * A[1, 0]

    
    for j in range(n):
        # Submatriz removendo a primeira linha e a coluna j
        submatrix = np.delete(A[1:], j, axis=1)
        
        # Calcular o cofator
        cofator = (-1)**j * A[0, j] * calcular_determinante(submatrix)
        
        # Adicionar o cofator ao determinante
        det += cofator
        
    return det

# Exemplo de uso
A = np.matrix([[2, -1, 0, 1], [-1, 2, -1, 1], [0, -1, 2, 1], [1, 0, 0, 2]])

# Calcular o determinante
determinante_A = calcular_determinante(A)

# Exibir o resultado
print(f"O determinante da matriz A é: {determinante_A}")

Julia

function determinante(A)
    # Verificar se a matriz é quadrada
    n = size(A, 1)
    if n != size(A, 2)
        error("A matriz deve ser quadrada")
    end

    # Caso base: matriz 1x1
    if n == 1
        return A[1, 1]
    end
    # Caso base: matriz 2x2
    if n == 2
        return A[1, 1] * A[2, 2] - A[1, 2] * A[2, 1]
    end

    # Caso geral: usar a expansão de Laplace
    det = 0
    for j in 1:n
        # Submatriz removendo a primeira linha e a coluna j
        submatrix = [A[i, k] for i in 2:n, k in 1:n if k != j]
        # Calcular o cofator
        cofator = (-1)^(1+j) * A[1, j] * determinante(reshape(submatrix, n-1, n-1))
        # Adicionar o cofator ao determinante
        det += cofator
    end

    return det
end

A = [2 -1 0 1; -1 2 -1 1; 0 -1 2 1; 1 0 0 2]

# Calcular o determinante
determinante_A = determinante(A)

# Exibir o resultado
println("O determinante da matriz A é: $determinante_A")

# RESPOSTA:
# O determinante da matriz A é: 2

 Libs:

Python

import numpy as np

m = np.array([[2, 4], [2, 6]])

det = np.linalg.det(m)

print(det)

import numpy as np

m = np.array([[1, 2, 3], [3, 4, 5], [5, 6, 3]])

det = np.linalg.det(m)

print(det)

Utilizando Julia

using LinearAlgebra

m = [2 4; 2 6]
det = det(m)

println(det)

using LinearAlgebra

m = [1 2 3; 3 4 5; 5 6 3]
det = det(m)

println(det)

O cálculo do determinante de matrizes maiores segue um processo similar, utilizando a expansão por cofatores.

O determinante é uma ferramenta importante em muitas áreas da matemática e é utilizado em diversas aplicações, como na resolução de sistemas lineares, na diagonalização de matrizes e na geometria analítica, por exemplo.