Matrizes

Uma matriz é uma representação de dados, geralmente numéricos, divididos por linhas e colunas. Costuma ser representada por uma letra maiúscula, tal como $\large A$, e tem um determinado número de linhas $\large (m)$ e de colunas $\large (n)$. Neste caso, representa-se por $\large A_{m \times n}$.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$

A matriz $\large A$ é uma matriz 3×3, com 3 linhas e 3 colunas, portanto, $\large A_{3 \times 3}.$

Representações

Uma matriz pode ser representada, tanto dentro de colchetes, quanto dentro de parênteses, barras simples e barras duplas.

$$\large \begin{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \\ \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{Vmatrix} \end{matrix}$$

As matrizes, também chamadas de arranjos bidimensionais e são usadas em muitas áreas, como na solução de sistemas de equações lineares, na teoria de transformações lineares, que é a base da geometria analítica e da física teórica, na estatística, teoria dos grafos, entre outras.

Origem Histórica

As matrizes têm uma história antiga! O primeiro uso registrado está no livro chinês “Nove Capítulos sobre a Arte Matemática“ (por volta de 150 a.C.), onde eram usadas para resolver sistemas de equações lineares. O termo “matriz” foi cunhado pelo matemático James Joseph Sylvester em 1850, derivado do latim matrix (útero), sugerindo algo que “gera” valores.

Tipos

Tipos de Matrizes
Matriz Quadrada	É aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Ou seja, uma matriz nxn é uma matriz quadrada.
Matriz Diagonal	É aquela em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são iguais a zero. A diagonal principal é a linha que vai do canto superior esquerdo até o canto inferior direito da matriz.
Matriz Triangular	É aquela em que todos os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Se todos os elementos acima da diagonal principal forem iguais a zero, a matriz é triangular inferior. Se todos os elementos abaixo da diagonal principal forem iguais a zero, a matriz é triangular superior.
Matriz Identidade	É uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos são iguais a zero.
Matriz Transposta	É aquela em que as linhas são trocadas pelas colunas (e vice-versa) da matriz original.	↓
Matriz Simétrica	É aquela em que a matriz é igual à sua transposta.
Matriz Antissimétrica	É uma matriz quadrada em que a transposta negativa é igual à matriz original.
Matriz Nula	É aquela em que todos os elementos são iguais a zero.
Matriz Ortogonal	É uma matriz quadrada em que a transposta é igual à matriz inversa.
Matriz de Permutação	É uma matriz quadrada obtida a partir da matriz identidade ao se permutar linhas ou colunas.
Matriz de Vandermonde	É uma matriz em que cada elemento é uma potência crescente de uma variável.
Matriz Aumentada	É uma matriz obtida anexando as colunas de duas matrizes fornecidas ou uma matriz criada a partir de um sistema, que inclua os coeficientes e os resultados das equações.	↓

Usos comuns

• Computação Gráfica: Matrizes são essenciais para criar e manipular gráficos 3D em jogos e filmes. Elas permitem operações como rotação , translação , escala e projeção de objetos no espaço. Por exemplo, multiplicar uma matriz de rotação por coordenadas de vértices gira um objeto em tempo real.
• Mecânica Quântica: Na física quântica, matrizes representam observáveis como posição e momento. A mecânica matricial de Heisenberg (1925) foi uma das primeiras formulações da teoria quântica.
• Criptografia: Matrizes inversíveis são usadas em cifras como o Hill Cipher , onde mensagens são codificadas multiplicando por uma matriz e decodificadas com sua inversa.
• Autovalores e Autovetores: Esses conceitos estão ligados a vibrações, estabilidade de sistemas e até o “rankeamento” do Google. O “rankeamento” usa autovetores para determinar a importância de páginas web com base em links entre elas.
• Matrizes Esparsas: Em grandes sistemas (como redes sociais ou modelos climáticos), matrizes esparsas (com maioria de zeros) economizam memória e processamento. São cruciais para algoritmos de IA e Big Data.
• Sequência de Fibonacci via Matrizes: A famosa sequência 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8… pode ser gerada pela exponenciação da matriz, $\small \begin{bmatrix}1\ \ \ 1\\1\ \ \ 0 \end{bmatrix}^{n}$. O resultado na posição superior esquerda é o n-ésimo número de Fibonacci!
• Determinante e Geometria: O determinante de uma matriz 2×2 mede a área escalada por uma transformação linear. Se o determinante é zero, a transformação “colapsa” o espaço em uma dimensão menor (ex.: um plano virando uma linha).
• Matrizes Estocásticas: Usadas em cadeias de Markov , cada coluna (ou linha) representa probabilidades. A matriz de transição do Google’s PageRank é estocástica, modelando como usuários navegam entre páginas.
• Grafos: A matriz de adjacência de um grafo tem 1 na posição $(i, j)$ se há uma aresta entre os vértices $i$ e $j$. Multiplicando essas matrizes, você pode descobrir caminhos entre nós.
• Não Comutatividade: Diferente dos números, $\small AB \neq BA$ em geral. Isso é crucial na física: o comutador $\small AB−BA$ aparece na mecânica quântica.
• Teorema de Cayley-Hamilton: Toda matriz satisfaz sua própria equação característica. Por exemplo, se $p(λ)=λ2−5λ+6$ é o polinômio característico de uma matriz $A$, então $A2−5A+6I=0$.

Libs:

Linguagem	Biblioteca	Função	Resultado
Python	Numpy	A = np.matrix([[2,1], [3,4]])
Julia		A = [2 1; 3 4]

Python

import numpy as np

A = np.matrix([[2,1], [3,4]])

# Resposta:
# [[2 1] 
#  [3 4]]

Julia

A = [2 1; 3 4]

# Resposta: 
# 2  1
# 3  4

Matriz Transposta

Libs:

Python

import numpy as np

A = np.matrix([[2,1], [3,4]])

A_transposta = np.transpose(A)

# Resposta:
# [[2 3] 
#  [1 4]]

Julia

A = [2 1; 3 4]

A_transposta = A'

# Resposta: 
# 2  3
# 1  4

Matriz Inversa

Libs:

Python

import numpy as np

A = np.matrix([[2,1], [3,4]])

A_inversa = np.linalg.inv(A)

# Resposta:
# [[ 0.8, -0.2],
#  [-0.6,  0.4]]

Julia

A = [2 1; 3 4]

A_inversa = inv(A)

# Resposta: 
# 0.8  -0.2
# -0.6   0.4